第1講 速算與巧算（一）
計(jì)算是數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，小學(xué)生要學(xué)好數(shù)學(xué)，必須具有過硬的計(jì)算本領(lǐng)。準(zhǔn)確、快速的計(jì)算能力既是一種技巧，也是一種思維訓(xùn)練，既能提高計(jì)算效率、節(jié)省計(jì)算時(shí)間，更可以鍛煉記憶力，提高分析、判斷能力，促進(jìn)思維和智力的發(fā)展。
我們?cè)谌昙?jí)已經(jīng)講過一些四則運(yùn)算的速算與巧算的方法，本講和下一講主要介紹加法的基準(zhǔn)數(shù)法和乘法的補(bǔ)同與同補(bǔ)速算法。
例1 四年級(jí)一班第一小組有10名同學(xué)，某次數(shù)學(xué)測(cè)驗(yàn)的成績(jī)（分?jǐn)?shù)）如下：
86，78，77，83，91，74，92，69，84，75。
求這10名同學(xué)的總分。
分析與解：通常的做法是將這10個(gè)數(shù)直接相加，但這些數(shù)雜亂無(wú)章，直接相加既繁且易錯(cuò)。觀察這些數(shù)不難發(fā)現(xiàn)，這些數(shù)雖然大小不等，但相差不大。我們可以選擇一個(gè)適當(dāng)?shù)臄?shù)作“基準(zhǔn)”，比如以“80”作基準(zhǔn)，這10個(gè)數(shù)與80的差如下：
6，-2，-3，3，11，-6，12，-11，4，-5，其中“-”號(hào)表示這個(gè)數(shù)比80小。于是得到
總和=80×10＋（6-2-3＋3＋11-
＝800＋9＝809。
實(shí)際計(jì)算時(shí)只需口算，將這些數(shù)與80的差逐一累加。為了清楚起見，將這一過程表示如下：
通過口算，得到差數(shù)累加為9，再加上80×10，就可口算出結(jié)果為809。
例1所用的方法叫做加法的基準(zhǔn)數(shù)法。這種方法適用于加數(shù)較多，而且所有的加數(shù)相差不大的情況。作為“基準(zhǔn)”的數(shù)（如例1的80）叫做基準(zhǔn)數(shù)，各數(shù)與基準(zhǔn)數(shù)的差的和叫做累計(jì)差。由例1得到：
總和數(shù)=基準(zhǔn)數(shù)×加數(shù)的個(gè)數(shù)+累計(jì)差，
平均數(shù)=基準(zhǔn)數(shù)+累計(jì)差÷加數(shù)的個(gè)數(shù)。
在使用基準(zhǔn)數(shù)法時(shí)，應(yīng)選取與各數(shù)的差較小的數(shù)作為基準(zhǔn)數(shù)，這樣才容易計(jì)算累計(jì)差。同時(shí)考慮到基準(zhǔn)數(shù)與加數(shù)個(gè)數(shù)的乘法能夠方便地計(jì)算出來(lái)，所以基準(zhǔn)數(shù)應(yīng)盡量選取整十、整百的數(shù)。
例2 某農(nóng)場(chǎng)有10塊麥田，每塊的產(chǎn)量如下（單位：千克）：
462，480，443，420，473，429，468，439，475，461。求平均每塊麥田的產(chǎn)量。
解：選基準(zhǔn)數(shù)為450，則
累計(jì)差=12＋30－7－30＋23－21＋18－11＋25＋11
＝50，
平均每塊產(chǎn)量=450＋50÷10＝455（千克）。
答：平均每塊麥田的產(chǎn)量為455千克。
求一位數(shù)的平方，在乘法口訣的九九表中已經(jīng)被同學(xué)們熟知，如7×7＝49（七七四十九）。對(duì)于兩位數(shù)的平方，大多數(shù)同學(xué)只是背熟了10～20的平方，而21～99的平方就不大熟悉了。有沒有什么竅門，能夠迅速算出兩位數(shù)的平方呢？這里向同學(xué)們介紹一種方法——湊整補(bǔ)零法。所謂湊整補(bǔ)零法，就是用所求數(shù)與最接近的整十?dāng)?shù)的差，通過移多補(bǔ)少，將所求數(shù)轉(zhuǎn)化成一個(gè)整十?dāng)?shù)乘以另一數(shù)，再加上零頭的平方數(shù)。下面通過例題來(lái)說明這一方法。
例3 求292和822的值。
解：292=29×29
＝（29＋1）×（29-1）＋12
＝30×28＋1
＝840+1
＝841。
822＝82×82
＝（82－2）×（82＋2）＋22
＝80×84＋4
＝6720+4
＝6724。
由上例看出，因?yàn)?9比30少1，所以給29“補(bǔ)”1，這叫“補(bǔ)少”；因?yàn)?2比80多2，所以從82中“移走”2，這叫“移多”。因?yàn)槭莾蓚€(gè)相同數(shù)相乘，所以對(duì)其中一個(gè)數(shù)“移多補(bǔ)少”后，還需要在另一個(gè)數(shù)上“找齊”。本例中，給一個(gè)29補(bǔ)1，就要給另一個(gè)29減1；給一個(gè)82減了2，就要給另一個(gè)82加上2。最后，還要加上“移多補(bǔ)少”的數(shù)的平方。
由湊整補(bǔ)零法計(jì)算352，得
35×35＝40×30＋52=1225。這與三年級(jí)學(xué)的個(gè)位數(shù)是5的數(shù)的平方的速算方法結(jié)果相同。
這種方法不僅適用于求兩位數(shù)的平方值，也適用于求三位數(shù)或更多位數(shù)的平方值。
例4 求9932和20042的值。
解：9932=993×993
＝（993＋7）×（993-7）+72
＝1000×986＋49
＝986000＋49
＝986049。
20042=2004×2004
＝（2004-4）×（2004+4）＋42
＝2000×2008＋16
＝4016000＋16
＝4016016。
下面，我們介紹一類特殊情況的乘法的速算方法。
請(qǐng)看下面的算式：
66×46，73×88，19×44。
這幾道算式具有一個(gè)共同特點(diǎn)，兩個(gè)因數(shù)都是兩位數(shù)，一個(gè)因數(shù)的十位數(shù)與個(gè)位數(shù)相同，另一因數(shù)的十位數(shù)與個(gè)位數(shù)之和為10。這類算式有非常簡(jiǎn)便的速算方法。
例5 88×64＝？
分析與解：由乘法分配律和結(jié)合律，得到
88×64
＝（80＋8）×（60＋4）
＝（80＋8）×60＋（80＋8）×4
＝80×60＋8×60＋80×4＋8×4
＝80×60＋80×6＋80×4＋8×4
＝80×（60＋6＋4）＋8×4
＝80×（60＋10）＋8×4
＝8×（6＋1）×100+8×4。
于是，我們得到下面的速算式：
由上式看出，積的末兩位數(shù)是兩個(gè)因數(shù)的個(gè)位數(shù)之積，本例為8×4；積中從百位起前面的數(shù)是“個(gè)位與十位相同的因數(shù)”的十位數(shù)與“個(gè)位與十位之和為10的因數(shù)”的十位數(shù)加1的乘積，本例為8×（6＋1）。
例6 77×91＝？
解：由例3的解法得到
由上式看出，當(dāng)兩個(gè)因數(shù)的個(gè)位數(shù)之積是一位數(shù)時(shí)，應(yīng)在十位上補(bǔ)一個(gè)0，本例為7×1＝07。
用這種速算法只需口算就可以方便地解答出這類兩位數(shù)的乘法計(jì)算。
