加法原理（二）

　　我們通常解題，總是要先列出算式，然后求解?？墒菍τ行╊}目來說，這樣做不僅麻煩，而且有時根本就列不出算式。這一講我們介紹利用加法原理在“圖上作業”的解題方法。

例1小明要登上10級臺階，他每一步只能登1級或2級臺階，他登上10級臺階共有多少種不同的登法？

分析與解：登上第1級臺階只有1種登法。登上第2級臺階可由第1級臺階上去，或者從平地跨2級上去，故有2種登法。登上第3級臺階可從第1級臺階跨2級上去，或者從第2級臺階上去，所以登上第3級臺階的方法數是登上第1級臺階的方法數與登上第2級臺階的方法數之和，共有1+2＝3（種）……一般地，登上第n級臺階，或者從第（n—1）級臺階跨一級上去，或者從第（n—2）級臺階跨兩級上去。根據加法原理，如果登上第（n—1）級和第（n—2）級分別有a種和b種方法，則登上第n級有（a＋b）種方法。因此只要知道登上第1級和第2級臺階各有幾種方法，就可以依次推算出登上以后各級的方法數。由登上第1級有1種方法，登上第2級有2種方法，可得出下面一串數：

　　1，2，3，5，8，13，21，34，55，89。

　　其中從第三個數起，每個數都是它前面兩個數之和。登上第10級臺階的方法數對應這串數的第10個，即89。也可以在圖上直接寫出計算得出的登上各級臺階的方法數（見下圖）。

例2在左下圖中，從A點沿實線走最短路徑到B點，共有多少條不同路線？

分析與解：題目要求從左下向右上走，所以走到任一點，例如右上圖中的D點，不是經過左邊的E點，就是經過下邊的F點。如果到E點有a種走法（此處a＝6），到F點有b種走法（此處b＝4），根據加法原理，到D點就有（a＋b）種走法（此處為6＋4=10）。我們可以從左下角A點開始，按加法原理，依次向上、向右填上到各點的走法數（見右上圖），最后得到共有35條不同路線。

例3左下圖是某街區的道路圖。從A點沿最短路線到B點，其中經過C點和D點的不同路線共有多少條？

分析與解：本題可以同例2一樣從A標到B，也可以將從A到B分為三段，先是從A到C，再從C到D，最后從D到B。如右上圖所示，從A到C有3種走法，從C到D有4種走法，從D到B有6種走法。因為從A到B是分幾步走的，所以應該用乘法原理，不同的路線共有

　　3×4×6＝72（條）。

例4沿左下圖中箭頭所指的方向從A到B共有多少種不同的走法？

分析與解：如右上圖所示，先標出到C點的走法數，再標出到D點和E點的走法數，然后標出到F點的走法數，最后標出到B點的走法數。共有8種不同的走法。

例5有15根火柴，如果規定每次取2根或3根，那么取完這堆火柴共有多少種不同取法？

分析與解：為了便于理解，可以將本題轉變為“上15級臺階，每次上2級或3級，共有多少種上法？”所以本題的解題方法與例1類似（見下表）。

　

　　注意，因為每次取2或3根，所以取1根的方法數是0，取2根和取3根的方法數都是1。取4根的方法數是取1根與取2根的方法數之和，即0＋1＝1。依此類推，取n根火柴的方法數是取（n-3）根與取（n-2）根的方法數之和。所以，這串數（取法數）中，從第4個數起，每個數都是它前面第3個數與前面第2個數之和。取完15根火柴共有28種不同取法。