對一道競賽題解法的商榷

題目 求滿足下述條件的最小正整數(shù)n，對于這個(gè)n，有唯一的正整數(shù)K，滿足 （第五屆美國數(shù)學(xué)邀請賽題）

不少初等數(shù)學(xué)的書刊上都曾對本題給出過解答，多數(shù)的解法是：

因?yàn)閚、k均為正整數(shù)，故只需滿足：

所以滿足條件的n=112。上面解法的推理不嚴(yán)密，只說明n=112時(shí)，存在唯一的正整數(shù)K使原不等式成立，并不能說明K值唯一存在時(shí)，112是的n最小值。事實(shí)上，若將不等式(1)進(jìn)一步變?yōu)?IMG height=34

要使正整數(shù)K的值唯一存在，必須且只需區(qū)間

所以1≤n≤112，n的最大值是112（這時(shí)k=97）.用枚舉法對n從1開始試算，易知n最小是15時(shí)，(2)式中的k有唯一的值13.