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以偏概全證題例析
瀏覽:825 來源:廣深家教信息網 日期:2009-10-02
在平面幾何解證題中,我們常可看到因考慮不周,造成解答不完整,以偏概
全的錯誤.本文就此舉幾例
并分析如下,以期引起讀者的重視.
分析
:以上證法僅僅適用于角C是銳角(如圖1)和直角(如圖2)的情形。
例2
證明平行線等線段定理(只證明三條平行線的情形)。
求證:BD=DF.
證明:
過點B、D分別作GH的平行線BM、DN,分別交CD、EF于點M、N,得平行四邊形
分析
上述證明只適用于KL與GH 相交且交點不重合于B和D的情況,
當KL平行于GH時,ΔBMD和ΔDNF都不存在;當點B與A或D與C重合時,過B或D且平行于GH的直
線不存在。可見, 該定理的嚴格證明應分以下三種情況:
(3)如果KL與GH相交于除C而外的點(如圖7),那么過D作GH的平行線交直線a于M,交直線
b于N,利用(1)的結果有DM=DN,再由(2)的結果就有BD=DF。
例3
圓O
1
與圓O
2
與相交于A、B兩點,C為圓O
1
外、園O
2
上任一點,直線CA,CB分別與圓O
1
相交于D、E,則弦DE為定值。
證明:
如圖8,連結DB.
∵A、B為定點,
∴弦DE為定值.
分析
以上只證明了D、E在AB同側的情況,還應補證D、E在AB兩側的情形:
如圖9,連結DB、AE.
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對一道競賽題解法的商榷
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幾個平幾定理的另證
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