摘要： 由于解析幾何的學科特點，使我們在解析幾何的學習過程中往往特別
強調用代數方法解決幾何問題的重要性，而忽視幾何圖形解決問題的
優越性，尤其忽視解析幾何中的圖形在其它數學分支的作用。其實，
同時強調問題的兩個方面的重要性更有利于提高綜合運用知識的能力。
華羅庚大師曾說： “數缺形時少直觀，形缺數時難入微”. 這可謂是對數形結合思想的精辟論述。
在解決數學問題時，有意識地將數的問題從“形”的角度去觀察、分析和解決；而對形的問題則借助“數”的理論去處理，這種“形”“數”相互轉化利用的解決問題的策略，就叫“數形結合的思想方法”。
在解析幾何中我們充分強調了用代數方法解決幾何問題的解析法，它解決了許多僅靠圖形無法精確討論的問題，顯示了“數”的巨大威力。同時也看到許多問題從“形”的角度去思考，找到了不少直觀簡捷的解題方案，展現了“形”的無窮魅力。
其實，若能有意識的開發和利用解析幾何中的“形”，我們會發現它在方程、不等式、函數、三角、復數、數列等代數分支中也有不俗的表現，它往往比用純代數理論進行的抽象的推算要簡捷明朗得多。本文就想從常見的幾個方面說明一下解析幾何中“形”的開發和
利用問題。
一、解方程（組）時可聯想曲線的交點
例1． 實數m為何值時方程 sin2x –sinx + m = 0 有兩解、
一解、無解 ？
分析： 原方程轉化成函數式 m = - sin2x + sinx
再令t = sinx 則m = - t 2 + t ，后又
聯想“拋物線弧段y = - t 2 + t 與直線 y=m 的交點的個數”
即得： 時方程有兩個不同的實數解
或m=1/4 時方程有唯一的的實數解
m< -2或m>1/4 時方程無解
說明：本題是三角方程的解的討論問題，通過聯想“形”使方程問題轉化為兩個圖形的交點的個數問題，簡單明了。
例2．復數z滿足 求 復數 z
分析：聯想“形”
表示中心在原點、焦點為A(-3,0)、 B(3,0)
長軸長為10的橢圓。
而 則表示中心在原點、焦點為C(0,5) 、D(0,-5)，
實軸長為8的雙曲線的下支。
那么復數 z 即上述兩曲線（橢圓和雙曲線下支）的交點 Z 對應的復數，
圖示 可知 交點P(0,-4) ， 故 復數z = - 4i
說明：本題是復數方程，若設 z = x + yi 解復數方程， 計算量將會很大。
而通過聯想 “形”轉化為兩曲線交點問題，一目了然，輕松過關。
二、證不等式時 注意 “望 式 生 形 ”
分析：聯想“形”，將
看成動點 之間的距離不小于 ，
而點P在 定圓 x2 + y2=2上,
點Q 在定雙曲線 xy = 9 (反比例函數的圖象) 上。
由圖示顯然可知 動點P與Q間的距離的最小值為2 。不等式得證。
說明：本題通過聯想“形”使一個不易證的三角不等式問題轉化為兩曲線上的動點的距離問題，直觀簡捷。
例2．
分析：聯想“形”，將 –1 < < 1 看作兩點 P(1, a)、 Q(- ab, - b)
的連線的斜率介于 -1 ，+1之間，
又A(- a , - 1) 、B(a ,1)與 P連線的斜率 KPA , KPB分別為 +1 , -1
而Q在A、B之間， 故KPB < KPQ < KPA ，則 本題就得證。
說明：本題通過聯想，將證絕對值不等式問題轉化成看共點的三直線的斜率大小問題。
三、解無理、二次不等式，常可從圖（圓錐曲線和直線）上看出解。
例1 . 解不等式
分析： 聯想左邊為拋物線y2=2x+5在 x 軸上方的一段, 右邊為直線y=x+1
而 的根為2 ， 兩圖的交點為A(2,3) ，那么，不等式的解, 即 直線在拋物線段下面的部分 對應的點的橫坐標， 即
說明：本題通過聯想基本曲線的圖形，將解不等式問題轉化成看兩圖的上下關系問題。
例2. 解不等式 [ 2003年高考（13）題 ]
分析： 聯想左邊為圓 (x-2)2+y2 = 4在 x 軸及上方的部分, 右邊為直線y = x
而 的根為x=0 和x=2 ，所以 兩圖的交點為A(0,0)、B(2,2) ，那么，不等式的解即 直線在圓弧段上面的部分 對應的點的橫坐標， 即
說明：本題通過聯想基本曲線的圖形，將解不等式問題轉化成看兩圖的上下關系問題。
例3． a>0 解含參不等式 （2000年高考20題）
分析：聯想“形”
左邊為等軸雙曲線 x2–y2 = -1 在 x軸上方的一支（其漸進線的斜率 - 1，+1）
右邊為含參直線 y = a x + 1
畫圖易知
0<a<1時解集為
說明：本題通過聯想 、畫圖迅速得到了解答，拓寬了解含參不等式解題思路。
四、求分式（根式）的最值，可試著聯想斜率（距離）而得到解
例1．實數滿足 x+y+1=0 ，求根式 的最小值
分析：將 “聯想成直線x+y+1=0上點P(x,y) 到定點A(1,1)的
距離”。那么 的最小值， 即點A(1,1)到直線x+y+1=0的
距離 ， 即所求的最小值為
（本題將 y= -1- x代入 也可以）
說明：本題通過聯系“形”使一個求最值問題轉化成點線距離問題，減少了計算量。
例2 . 實數x , y滿足 (x-2)2 + y2 = 3 求 的最大值.（90年高考題）
分析：聯想 (x-2)2 + y2 =3即以C(2,0)為圓心,以 為半徑的圓.
而x,y為圓上的點P的橫、縱坐標， 那么，分式 =
即可看成 直線OP的斜率。由圖知 其最大值為
說明：本題通過聯想“形”使最值問題轉化為圓的切線的斜率問題，形象直觀，
簡單易行。
例3． 實數x, y滿足4x2 = 8 - y2
分析：聯想4x2 = 8 - y2 即橢圓 ，而P(x,y)為橢圓上的任一點 P到兩定點A(0,3)
B(2,1)的距離和， 又定點A(0,3) B(2,1)連線段與橢圓有交點（兩個），
所以，所求的最小值即為A、B兩點之間的距離
說明：本題通過聯想“形”使一個繁瑣的代數最值問題轉化成簡單的兩個定點間
的距離問題，不僅找到了方法，拓寬了思路，而且體會到了數學的簡捷美和
數形結合的優越性。
總之，有意識地用數形轉化的思想和意識地去思考問題、分析并解決問題,
不僅可以拓寬思路、融會貫通，而且可以提升思維的深刻性、敏銳性和靈活性，
還有利于提高綜合運用知識分析問題、解決問題的能力，更有利于形成“客觀
事物都是普遍聯系的、在一定的條件下可以互相轉化的”的辨證唯物主義思想。
