四年級數學數陣圖（一）例題解析
我們在三年級已經學習過輻射型和封閉型數陣，其解題的關鍵在于“重疊數”。本講和下一講，我們學習三階方陣，就是將九個數按照某種要求排列成三行三列的數陣圖，解題的關鍵仍然是“重疊數”。我們先從一道典型的例題開始。
例1把1～9這九個數字填寫在右圖正方形的九個方格中，使得每一橫行、每一豎列和每條對角線上的三個數之和都相等。
分析與解：我們首先要弄清每行、每列以及每條對角線上三個數字之和是幾。我們可以這樣去想：因為1～9這九個數字之和是45，正好是三個橫行數字之和，所以每一橫行的數字之和等于45÷3=15。也就是說，每一橫行、每一豎列以及每條對角線上三個數字之和都等于15。
在1～9這九個數字中，三個不同的數相加等于15的有：
9＋5＋1，9＋4＋2，8＋6＋1，8＋5＋2，
8＋4＋3，7＋6＋2，7＋5＋3，6＋5＋4。
因此每行、每列以及每條對角線上的三個數字可以是其中任一個算式中的三個數字。
例1中的數陣圖，我國古代稱為“縱橫圖”、“九宮算”。一般地，將九個不同的數填在3×3（三行三列）的方格中，如果滿足每個橫行、每個豎列和每條對角線上的三個數之和都相等，那么這樣的圖稱為三階幻方。
在例1中如果只要求任一橫行及任一豎列的三數之和相等，而不要求兩條對角線上的三數之和也相等，則解不唯一，這是因為在例1的解中，任意交換兩行或兩列的位置，不影響每行或每列的三數之和，故仍然是解。
例2用11，13，15，17，19，21，23，25，27編制成一個三階幻方。
分析與解：給出的九個數形成一個等差數列，對照例1，1～9也是一個等差數列。不難發現：中間方格里的數字應填等差數列的第五個數，即應填19；填在四個角上方格中的數是位于偶數項的數，即13，17，21，25，而且對角兩數的和相等，即13＋25=17＋21；余下各數就不難填寫了（見右圖）。
與幻方相反的問題是反幻方。將九個數填入3×3（三行三列）的九個方格中，使得任一行、任一列以及兩條對角線上的三個數之和互不相同，這樣填好后的圖稱為三階反幻方。
例3將前9個自然數填入右圖的9個方格中，使得任一行、任一列以及兩條對角線上的三個數之和互不相同，并且相鄰的兩個自然數在圖中的位置也相鄰。
分析與解：題目要求相鄰的兩個自然數在圖中的位置也相鄰，所以這9個自然數按照大小順序在圖中應能連成一條不相交的折線。經試驗有下圖所示的三種情況：
按照從1到9和從9到1逐一對這三種情況進行驗算，只有第二種情況得到下圖的兩個解。因為第二種情況是螺旋形，故本題的解稱為螺旋反幻方。
例4將九個數填入左下圖的九個空格中，使得任一行、任一列以及兩條
證明：因為每行的三數之和都等于k，共有三行，所以九個數之和等于3k。如右上圖所示，經過中心方格的有四條虛線，每條虛線上的三個數之和都等于k，四條虛線上的所有數之和等于4k，其中只有中心方格中的數是“重疊數”，九個數各被計算一次后，它又被重復計算了三次。所以有
九數之和+中心方格中的數×3=4k，
3k+中心方格中的數×3=4k，
注意：例4中對九個數及定數k都沒有特殊要求。這個結論對求解3×3方格中的數陣問題很實用。
在3×3的方格中，如果要求填入九個互不相同的質數，要求任一行、任一列以及兩條對角線上的三個數之和都相等，那么這樣填好的圖稱為三階質數幻方。
例5求任一列、任一行以及兩條對角線上的三個數之和都等于267的三階質數幻方。
分析與解：由例4知中間方格中的數為267÷3＝89。由于在兩條對角線、中間一行及中間一列這四組數中，每組的三個數中都有89，所以每組的其余兩數之和必為267-89＝178。兩個質數之和為178的共有六組：
5+173＝11＋167
?。?9＋149＝41＋137
?。?7+131＝71+107。
經試驗，可得右圖所示的三階質數幻方。
