兩類平幾題的輔助圓解（證）法

瀏覽：873 來源：廣深家教信息網日期：2009-10-02

添加輔助線是解決初等幾何問題的重要手段之一，同時也往往是解題的關鍵之所在。以點、線段和直線等作為輔助線是大家最熟悉和最常用的，至于以圓或圓弧作為輔助線則少見。本文專門談以圓作為輔助線（稱為輔助圓）的兩類平幾問題。

一、共端點的等線段問題，常作以公共端點為圓心，等長線段為半徑的確圓，則易溝通題設和結論的聯系，使問題迅速獲解。

例1 已知四邊形ABCD中，AB//CD，AB=AC=AD=5，BC=

解：以A為圓心、AB為半徑畫圓，則B、C、D三點在⊙A上.

延長BA交⊙A 于E，連結DE.


因BE是⊙A的直徑T∠EDB=900且BE=2AB=10.

例2 （上海1984年初中數學競賽題）如圖，AB=AC=AD，∠DAC是∠CAB的K倍，則∠DBC是∠BDC的（）倍.

（A）K倍；（B）2K倍；（C）3K倍；（D）都不對.

解：以A為圓心，AB為半徑畫圓，則B、C、D三點在⊙A上.

由圓周角定理可得 . 所以答案是（A）.

例3 如圖，AB=AC=AD=BC，AH⊥CD，CP⊥BC.

證明：以A為圓心AB為半徑作⊙A，則B、C、D都在⊙A上，且

∴ ∠BDC=∠ACP.

∴△BDC∽△ACP. ∴BC：AP=BD：AC. ∴BC2 =AP·BD.

二、共頂點的等角問題，常作以公共頂點為一個頂點的三角形的外接圓，從而使等角與輔助圓中有關角的性質建立起聯系，從而使問題獲得簡捷的解決。

例4 △ABC中，∠A的外角平分線交BC的延長線于D.

證明：作△ACD的外接圓交BA的延長線于F.

連結FD，則DC=DF.

∵∠ACB=∠DFB，∠B=∠B，∴△ABC ∽△DBF

例5 證明任何三角形三個內角的平分線的連乘積必小于三邊的連乘積.

證明：設a、b、c及ta、tb、tc為△ABC的三條邊及三條角平分線。作△ABC的外接圓交∠A的平分線AD的延長線于E，連EC，則△EAC∽△BAD

同理 ac>tb2,ab>ta2.

∴a2b2c2>ta2tb2tc2,即abc>tatbtc.

例6 自△ABC的頂點A引兩條射線交BC于D、E，使∠BAD=∠CAE.

（上海市1986年初中數學競賽題）

證明：作△ADE的外接圓交AB于F，交AC于H，連FH、則

∴FH∥BC.

顯然，當E重合于D時，有

這就是三角形內角平分線性質定理；當BD=CE時,有BE=CD，從而有

這就是1986年全國初中數學競賽題

例7 在△ABC中，∠C=3∠A，a=27,c=48,求b（第36屆美國中學生數學競賽題）。

解：作∠ACD=∠BCE=∠BAC交△ABC的外接圓于D、E，連AD、DE、EB、DB，則AD=DE=EB=BC=27，DC=AB=48.

設DB=CE=x，則在四邊形DEBC中，由托勒密定理，有

在四邊形ADBC中，由DB·AC+AD·BC=AB·DC得

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