函數單調性與奇偶性

教學目標
　　1.了解函數的單調性和奇偶性的概念,掌握有關證明和判斷的基本方法.
　　(1)了解并區分增函數,減函數,單調性,單調區間,奇函數,偶函數等概念.
　　(2)能從數和形兩個角度認識單調性和奇偶性.
　　(3)能借助圖象判斷一些函數的單調性,能利用定義證明某些函數的單調性;能用定義判斷某些函數的奇偶性,并能利用奇偶性簡化一些函數圖象的繪制過程.
　　2.通過函數單調性的證明,提高學生在代數方面的推理論證能力;通過函數奇偶性概念的形成過程,培養學生的觀察,歸納,抽象的能力,同時滲透數形結合,從特殊到一般的數學思想.
　　3.通過對函數單調性和奇偶性的理論研究,增學生對數學美的體驗,培養樂于求索的精神,形成科學,嚴謹的研究態度.

教學建議

一、知識結構

　　（1）函數單調性的概念。包括增函數、減函數的定義，單調區間的概念函數的單調性的判定方法，函數單調性與函數圖像的關系.

　　（2）函數奇偶性的概念。包括奇函數、偶函數的定義，函數奇偶性的判定方法，奇函數、偶函數的圖像.

二、重點難點分析

　　(1)本節教學的重點是函數的單調性,奇偶性概念的形成與認識.教學的難點是領悟函數單調性, 奇偶性的本質,掌握單調性的證明.

　　(2)函數的單調性這一性質學生在初中所學函數中曾經了解過,但只是從圖象上直觀觀察圖象的上升與下降,而現在要求把它上升到理論的高度,用準確的數學語言去刻畫它.這種由形到數的翻譯,從直觀到抽象的轉變對高一的學生來說是比較困難的,因此要在概念的形成上重點下功夫.單調性的證明是學生在函數內容中首次接觸到的代數論證內容,學生在代數論證推理方面的能力是比較弱的,許多學生甚至還搞不清什么是代數證明,也沒有意識到它的重要性,所以單調性的證明自然就是教學中的難點.

三、教法建議

　　（1）函數單調性概念引入時,可以先從學生熟悉的一次函數,,二次函數.反比例函數圖象出發,回憶圖象的增減性,從這點感性認識出發,通過問題逐步向抽象的定義靠攏.如可以設計這樣的問題:圖象怎么就升上去了?可以從點的坐標的角度,也可以從自變量與函數值的關系的角度來解釋,引導學生發現自變量與函數值的的變化規律,再把這種規律用數學語言表示出來.在這個過程中對一些關鍵的詞語(某個區間,任意,都有)的理解與必要性的認識就可以融入其中,將概念的形成與認識結合起來.

　　（2）函數單調性證明的步驟是嚴格規定的,要讓學生按照步驟去做,就必須讓他們明確每一步的必要性,每一步的目的,特別是在第三步變形時,讓學生明確變換的目標,到什么程度就可以斷號,在例題的選擇上應有不同的變換目標為選題的標準,以便幫助學生總結規律.

函數的奇偶性概念引入時,可設計一個課件,以 數學表達式寫出來.經歷了這樣的過程,再得到等式

函數的奇偶性教學設計方案

教學目標

　　1.使學生了解奇偶性的概念,回 會利用定義判斷簡單函數的奇偶性.

　　2.在奇偶性概念形成過程中,培養學生的觀察,歸納能力,同時滲透數形結合和特殊到一般的思想方法.

　　3.在學生感受數學美的同時,激發學習的興趣,培養學生樂于求索的精神.

教學重點,難點

　　重點是奇偶性概念的形成與函數奇偶性的判斷

　　難點是對概念的認識

教學用具

　　投影儀,計算機

教學方法

　　引導發現法

教學過程

一. 引入新課

　　前面我們已經研究了函數的單調性,它是反映函數在某一個區間上函數值隨自變量變化而變化的性質,今天我們繼續研究函數的另一個性質.從什么角度呢?將從對稱的角度來研究函數的性質.

　　對稱我們大家都很熟悉,在生活中有很多對稱,在數學中也能發現很多對稱的問題,大家回憶一下在我們所學的內容中,特別是函數中有沒有對稱問題呢?

　　(學生可能會舉出一些數值上的對稱問題,

　　結合圖象提出這些對稱是我們在初中研究的關于

　　學生經過思考,能找出原因,由于函數是映射,一個

二. 講解新課

　　2.函數的奇偶性(板書)

　　教師從剛才的圖象中選出

　　學生開始可能只會用語言去描述:自變量互為相反數,函數值相等.教師可引導學生先把它們具體化,再用數學符號表示.(借助課件演示令

　　從這個結論中就可以發現對定義域內任意一個

　　(1) 偶函數的定義:如果對于函數

　　(給出定義后可讓學生舉幾個例子,如

　　提出新問題:函數圖象關于原點對稱,它的自變量與函數值之間的數值規律是什么呢?(同時打出

　　學生可類比剛才的方法,很快得出結論,再讓學生給出奇函數的定義.

　　(2) 奇函數的定義: 如果對于函數

　　(由于在定義形成時已經有了一定的認識,故可以先作判斷,在判斷中再加深認識)

　　例1.  判斷下列函數的奇偶性(板書)

　　(1)

 　　(3)

　　(5)

　　(要求學生口答,選出1-2個題說過程)

　　解: (1)

　　(3)

　　前三個題做完,教師做一次小結,判斷奇偶性,只需驗證

　　學生經過思考可以解決問題，指出只要舉出一個反例說明

　　從(4)題開始,學生的答案會有不同,可以讓學生先討論,教師再做評述.即第(4)題中表面成立的

　　教師由此引導學生,通過剛才這個題目,你發現在判斷中需要注意些什么?(若學生發現不了定義域的特征,教師可再從定義啟發,在定義域中有1,就必有-1,有-2,就必有2,有

　　可以用(6)輔助說明充分性不成立,用(5)說明必要性成立,得出結論.

　　(3) 定義域關于原點對稱是函數具有奇偶性的必要但不充分條件.(板書)

　　由學生小結判斷奇偶性的步驟之后,教師再提出新的問題:在剛才的幾個函數中有是奇函數不是偶函數,有是偶函數不是奇函數,也有既不是奇函數也不是偶函數,那么有沒有這樣的函數,它既是奇函數也是偶函數呢?若有,舉例說明.

　　經學生思考,可找到函數

　　例2.  已知函數

　　證明:

　　證后,教師請學生記住結論的同時,追問這樣的函數應有多少個呢?學生開始可能認為只有一個,經教師提示可發現,

　　(4) 函數按其是否具有奇偶性可分為四類: (板書)

　　例3.  判斷下列函數的奇偶性(板書)

　　(1)

　　由學生回答,不完整之處教師補充.

　　解: (1)當

　　(2)當

　　(3) 當

　　當

　　綜上

　　教師小結 (1)(2)注意分類討論的使用,(3)是分段函數,當

三. 小結

　　1. 奇偶性的概念

　　2. 判斷中注意的問題

四. 作業 略

五. 板書設計