談數(shù)學(xué)的美

美的事物，總是為人們樂意醉心追求的。然而，一提到美，人們最容易想到的是“江山如此多嬌”的自然美，抑或是悅目的圖畫，動(dòng)聽的樂章、精妙的詩文……這些藝術(shù)美。然而，數(shù)學(xué)，這自然科學(xué)的皇后里面，蘊(yùn)含著比詩畫更美麗的境界。正如古希臘數(shù)學(xué)家普洛克拉斯的一句頗打動(dòng)人心的名言所說：“哪里有數(shù)，哪里就有美。”
    是的，哪里有數(shù)，哪里就有美。人類對(duì)數(shù)學(xué)的認(rèn)識(shí)最早是從自然數(shù)開始的。這看似極普通的自然數(shù)里面，其實(shí)就埋藏著數(shù)不盡的奇珍異寶。古希臘的畢達(dá)哥拉斯學(xué)派對(duì)自然數(shù)很有研究，當(dāng)他們將這數(shù)不盡的奇珍異寶的一部分挖掘出來并呈現(xiàn)于人類面前時(shí)，人們就為這數(shù)的美震顫了。
    畢達(dá)哥拉斯將自然界和和諧統(tǒng)一于數(shù)。他認(rèn)為，數(shù)本身就是世界的秩序。他的名言是：凡物皆數(shù)。但在一次集會(huì)上，一位學(xué)者提出了他的疑問：在我結(jié)交朋友時(shí)，也存在著數(shù)的作用嗎？
    “朋友是你靈魂的倩影，要象220與284一樣親密。”望著困惑不解的人們，畢達(dá)哥拉斯解釋道：神暗示我們，220的全部真因子1、2、4、5、10、11、20、22、44、55、110之和為284；而284的全部真因子1、2、4、71、142之和又恰為220。這就是親密無間的親和數(shù)。真正的朋友也象它們那樣。
    學(xué)者們?yōu)楫呥_(dá)哥拉斯的妙喻折服了，更為這“你中有我，我中有你”的美妙的親和數(shù)驚呆了，震撼了。人們驚嘆道：親和數(shù)的關(guān)系太微妙了。隨著研究的深入，人們又發(fā)現(xiàn)了更奧妙的高階親和數(shù)――聯(lián)誼數(shù)。于是狹隘的兩人的天地?cái)U(kuò)展為多人的世界。似乎它們也懂得“再完美的兩人世界也不能代表人世間所有的美麗”的道理呢。
    6也是一個(gè)美的數(shù)字。古代意大利曾把它作為“美滿婚姻”的象征。因?yàn)樗『玫扔谄渌姓嬉蜃?、2、3之和。呵，多么完美的性質(zhì)！因此人們稱這類數(shù)為完數(shù)，而6正是其中最小的一個(gè)。
    另外，勾股數(shù)、質(zhì)數(shù)……所具有的美妙性質(zhì)，也引無數(shù)英雄競折腰。
    許多人正為探尋費(fèi)馬大定理、哥德巴赫猜想的奧妙而“三月不知肉味”呢。而幻方，作為數(shù)學(xué)世界的百慕大三角，正是這奇珍中最耀目的一顆。最初的魔方陣，是中國所謂神龜背上的法寶――洛書的圖形。這是一個(gè)三階幻方古代人們?yōu)樗拿烂钆c神秘所吸引，甚至曾把它作為護(hù)身符掛在身上。而后人們又找到了“美妙方”、“超魔方陣”，以及令人嘆為觀止的雙料幻方。而形式上也從平面正方圖形擴(kuò)展為多角形圖、立體圖、圓圖……花色滿目，美不勝收。而對(duì)幻方工作進(jìn)行得愈深入，研究得愈細(xì)致，它的奇巧特點(diǎn)就愈見其層出不窮，它所呈現(xiàn)出的美也就越令人震顫。
    這些，就是普通的自然數(shù)所玩弄的無窮花樣中的一部分。而無窮盡的數(shù)正象遼闊的海洋，那大海深處蘊(yùn)含著一個(gè)五彩繽紛的世界。當(dāng)你暢游其中時(shí)，你會(huì)為這無垠海洋中數(shù)不盡的奇珍的美而陶醉，甚而你也許會(huì)有幸步入龍宮，見到更加奇?zhèn)ス蛀悺⑽宀拾邤痰木跋螅M(jìn)入數(shù)學(xué)海洋深入的殿堂，一窺數(shù)學(xué)的美境。這時(shí)，你肯定會(huì)與普洛克拉斯產(chǎn)生共鳴，而由衷贊嘆一聲：啊，哪里有數(shù)，哪里就有美。
    審美實(shí)踐告訴我們，人們對(duì)美的感受都是直接由形式引起的。但數(shù)學(xué)的形式美還不單純表現(xiàn)在自然數(shù)所玩弄的這些許花樣上，和諧的比例與優(yōu)美的曲線或圖形都能給人以強(qiáng)烈的形式美的享受。
    和諧的比例中最負(fù)盛名的是為開普勒稱為歐氏幾何學(xué)兩顆明珠之一的黃金分割。它成為人們普遍喜愛的美的比例，并為廣泛應(yīng)用。藝術(shù)家利用它塑造了令人贊嘆的藝術(shù)珍品，科學(xué)家利用它創(chuàng)造了豐碩的科技成果。象征黃金分割的五角星在歐洲也成為一種巫術(shù)的標(biāo)志。這神圣的比例值也被抬高了身價(jià)，而被稱為黃金數(shù)了，成了宇宙的美神。人體最優(yōu)美的身段遵循著這個(gè)黃金分割比；令人心曠神怡的花憑借的也是這個(gè)美的密碼，就連芭蕾舞藝術(shù)的的魅力也離不開它。真是：哪里有黃金數(shù)，哪里就有美的閃光。
    優(yōu)美的曲線同樣帶給人們美的享受。如得之于自然界的四葉玫瑰線、對(duì)數(shù)螺線及應(yīng)用于建筑中人為設(shè)計(jì)的超橢圓曲線等。更有那久負(fù)盛名的茂比烏斯曲線。華盛頓一座博物館的門口，有一座奇特的數(shù)學(xué)紀(jì)念碑，碑上是一個(gè)八英尺高的不銹鋼制的茂比烏斯圈。它日夜不停緩緩地旋轉(zhuǎn)著，帶給人們美感享受的同時(shí)，又昭示出人類正如它一樣永無休止地前進(jìn)著。
    在數(shù)學(xué)的園地里，完全正方形作為一朵沁人心脾的奇花，曾陶醉過多少觀賞者！五種正多面體以其形式美帶來的神秘感，使古代人曾把它們分別作為火、風(fēng)、水、土、空氣的象征，而這五種圖形總名之為宇宙的圖形。由宇宙美神得到的黃金矩形是最令人心醉的優(yōu)美圖形之一。它在形式比例上具有相當(dāng)高的美學(xué)價(jià)值。因而，日常生活中的許多物品，諸如像柜、圖書、雜志、火柴盒及至國旗都采用了這一優(yōu)美的圖形，以帶給人們更多的美感的享受。
    對(duì)稱均衡是數(shù)學(xué)形式美的主要特征。各種對(duì)稱或均衡圖形如等邊三角形、圓、雙曲線……及著名的楊輝三角形等，都會(huì)帶給人們美的享受。
然而數(shù)學(xué)帶給人們的美遠(yuǎn)不止這直觀的形式美。正如人的美不單在外表，更在內(nèi)心一樣，數(shù)學(xué)的深刻的本質(zhì)的更加誘惑人的離奇古怪寬廣無際的美卻在于它內(nèi)在奇妙結(jié)構(gòu)的完美的和諧統(tǒng)一性。
    數(shù)學(xué)中的美，不是以藝術(shù)家所用的色彩、線條、旋律等形象語言表現(xiàn)出來，而是把自然規(guī)律抽象成一些概念、定理或公式，并通過演繹而構(gòu)成一幅現(xiàn)實(shí)世界與理想空間的完美圖象。只有數(shù)學(xué)內(nèi)在結(jié)構(gòu)的美，才更令人心馳神往與陶醉。它的博大精深與簡明透徹都給觀賞者以巨大的美的感染。
    數(shù)學(xué)內(nèi)在美的標(biāo)準(zhǔn)在于它的真實(shí)、準(zhǔn)確簡潔、和諧與普遍。
    真中見美，是數(shù)學(xué)內(nèi)在美的重要特征之一。真與美總是緊密相連的，而數(shù)學(xué)堪稱真的楷模。正確性是數(shù)學(xué)中絕對(duì)的準(zhǔn)則。但這種真，卻是源于生活，而高于生活。如從實(shí)踐中得到的點(diǎn)、線、面就是高于生活的完美的、理想化的圖形――理想直線只具有長度，兩條理想的、完美的，準(zhǔn)直的理想直線，相交于一個(gè)理想的、完美的點(diǎn)，而這個(gè)點(diǎn)除了位置以外竟壓根兒就沒有大小；數(shù)學(xué)中所定義的圓，比任何畫家和文學(xué)家所能描繪的都更加完美無缺。正是這種真實(shí)與正確，使數(shù)學(xué)顯示出它特有的美的魅力，使它能延續(xù)幾千年乃至永久。
    簡潔性、和諧性與普遍性三者的統(tǒng)一，是數(shù)學(xué)內(nèi)在美的另一重要特征。簡潔是數(shù)學(xué)中引人注目的美感之一。通行世界的符號(hào)可算是最簡潔的文字，精煉準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)概念和定理的表述，可算是最簡潔的語言。數(shù)學(xué)以其簡潔的形式，從一組簡潔明了的公理、概念出發(fā)而推證出各種令人驚嘆的定理和公式，使人們洞察到其內(nèi)在的和諧性和秩序性，從中產(chǎn)生一種崇高、博大，妙不可言的審美感受。正如繪圖時(shí)用三種原色繪制出各種色彩繽紛的圖畫或簡譜中憑借七個(gè)音符譜寫出各種令人心醉的樂章所帶給人們的藝術(shù)美的享受一樣。從這一組定義、公理出發(fā)，演繹出一套邏輯體系，從而建成一座巍峨的數(shù)學(xué)大廈，這是眾多數(shù)學(xué)家樂意玩的游戲。而歐幾里德正是玩弄這種游戲的第一位大家。當(dāng)他把歐氏幾何的邏輯體系呈現(xiàn)在世人面前時(shí)，世人為這一壯舉所折服了、迷住了。愛因斯坦感嘆道：這是人類一個(gè)可贊嘆性的勝利。更有人斷言：能覬覦美神真面目的，唯歐幾里得一人而已。
    二戰(zhàn)后的布爾巴基學(xué)派更把數(shù)學(xué)公理化的浪潮推向了高峰。數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)、簡潔在這浪潮得到了充分的體現(xiàn)。這時(shí)的數(shù)學(xué)，遵循著“不漏不重原則。”如同求軌跡問題的解時(shí)，應(yīng)做到純粹性與完備性的統(tǒng)一。數(shù)學(xué)家找到的那組公理，應(yīng)該是少一個(gè)不行，多一個(gè)不要，在不多不少，恰好夠用的公理基礎(chǔ)上，得出一套嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬻w系，建成一座座數(shù)學(xué)的大廈。畢達(dá)哥拉斯說過：凡是美的東西都具有一個(gè)共同特征，這就是部分部分彼此之間，以及部分與整體間固有的協(xié)調(diào)一致。這協(xié)調(diào)一致產(chǎn)生的和諧美，在一座座數(shù)學(xué)大廈中都得到了體現(xiàn)。然而當(dāng)隨著數(shù)學(xué)的發(fā)展，一座座原本各自為政，不通有無的數(shù)學(xué)大廈之間忽然架起各式各樣的友誼之橋時(shí)，人們就會(huì)為這以前沒有認(rèn)識(shí)到的親緣關(guān)系而大吃一驚，同時(shí)產(chǎn)生一種出乎意料、不期而遇的美的享受，更領(lǐng)略到數(shù)學(xué)內(nèi)部結(jié)構(gòu)的和諧美。如，早期的代數(shù)與幾何之間曾是若即若離，而當(dāng)兩者間的友誼信鴿――解析幾何――誕生，就使兩者緊密聯(lián)系在一起，再也分不開了。如今數(shù)形統(tǒng)一的觀點(diǎn)早已深入人心，人們亦從中感覺到了數(shù)和形的調(diào)和美。再如，概率學(xué)作為研究偶然現(xiàn)象的科學(xué)，因其顯得特異，甚至曾一度被排斥在數(shù)學(xué)殿堂之外，而當(dāng)實(shí)變函數(shù)論形成后，它作為一種特殊的測(cè)度，而理所當(dāng)然地被請(qǐng)進(jìn)了數(shù)學(xué)的大雅之堂。現(xiàn)在，各個(gè)數(shù)學(xué)分支間已形成了各式各樣、錯(cuò)綜復(fù)雜的關(guān)系網(wǎng)，一座座原先孤立的數(shù)學(xué)大廈已聯(lián)結(jié)成為一個(gè)整體。數(shù)學(xué)已成為由各個(gè)數(shù)學(xué)分支緊密結(jié)合而成的和諧統(tǒng)一體。這時(shí)，數(shù)學(xué)家似乎可以高枕在數(shù)學(xué)大廈之巔，讓世人盡情觀摩數(shù)學(xué)的美了。不，如同物理學(xué)家總醉心于尋求宇宙之磚一樣，數(shù)學(xué)家還要據(jù)探求建成數(shù)學(xué)大廈的基石。20世紀(jì)初，康托爾的集合論被普遍接受后，龐加萊自傲且自信地在巴黎國際數(shù)學(xué)會(huì)議上宣稱道：數(shù)學(xué)的嚴(yán)格性，看來直到今天才說是實(shí)現(xiàn)了。集合論奠定了數(shù)學(xué)大廈的基礎(chǔ)。數(shù)學(xué)的最后基石和終極意義的問題獲得了圓滿地解決。直到這時(shí)，數(shù)學(xué)的美才在世人面前一覽無余了。人們已經(jīng)能夠直接領(lǐng)略到數(shù)學(xué)內(nèi)部結(jié)構(gòu)有機(jī)聯(lián)系的美妙圖景，并為這美所陶醉了。
    羅丹說：自然總是美的。伽利略則宣稱道：自然這本書是用數(shù)學(xué)語言寫成的。哪里有數(shù)，哪里就有美。數(shù)學(xué)總是美的，數(shù)學(xué)是美的科學(xué)。